Question

（2012•包頭三模）設x，y滿足線性約束條件

x-2y+3≥0 2x-3y+4≤0 y≥0

，若目標函數z=ax+by（其中a＞0，b＞0）的最大值為3，則

1

a

+

2

b

的最小值為

3

．

Answer 1

分析：由約束條件作出可行域，并找出目標函數取得最大值時的條件，進而利用基本不等式的性質即可求出．

解答：解：由x，y滿足線性約束條件

x-2y+3≥0 2x-3y+4≤0 y≥0

，作出可行域：
聯立

x-2y+3=0 2x-3y+4=0

解得C（1，2）．
由可行域可知：當目標函數經過點C時z取得最大值3，
∴a+2b=3（a＞0，b＞0）．
∴

1

a

+

2

b

=

1

3

(a+2b)(

1

a

+

2

b

)=

1

3

(5+

2b

a

+

2a

b

)
≥

1

3

(5+4

b a × a b

)=3．當且僅當

b

a

=

a

b

，a+2b=3，a＞0，
b＞0，即a=b=1時取等號．
因此

1

a

+

2

b

的最小值為3．
故答案為3．

點評：熟練掌握線性規劃的有關內容及基本不等式的性質是解題的關鍵．