Question

（2012•包頭三模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點為F（2，0），M為橢圓的上頂點，O為坐標原點，且△MOF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=8，證明：直線AB過定點（-

1

2

 ， -2）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，再根據a²=b²+c²可求得a；
（Ⅱ）分情況討論：（1）當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為：y=kx+m，聯立直線AB方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達定理及k₁+k₂=8可得關于k，m的關系式，消m代入直線AB方程可求得定點坐標；（2）若直線AB的斜率不存在，設AB方程為x=x₀，由已知可求得AB方程，易驗證其過定點；

解答：（Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，a²=8，
故橢圓方程為：

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）證明：（1）若直線AB的斜率存在，設AB的方程為：y=kx+m，依題意得m≠±2，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

．
由已知 k₁+k₂=8，可得 

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=8，
所以

kx1+m-2

x1

+

kx2+m-2

x2

=8，即2k+(m-2)

x1+x2

x1x2

=8．     
所以k-

mk

m+2

=4，整理得 m=

1

2

k-2．
故直線AB的方程為y=kx+

1

2

k-2，即y=k（x+

1

2

）-2．
所以直線AB過定點（-

1

2

 ， -2）．   
（2）若直線AB的斜率不存在，設AB方程為x=x₀，
設A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知

y0-2

x0

+

-y0-2

x0

=8，得x0=-

1

2

．
此時AB方程為x=-

1

2

，顯然過點（-

1

2

 ， -2）．
綜上，直線AB過定點（-

1

2

 ， -2）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓標準方程的求解，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力．