Question

（2012•包頭三模）若曲線y=x²在點（a，a²）（a＞0）處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為2，則a等于

2

．

Answer 1

分析：利用導數得出切線的斜率，進而得出切線的方程，求出切線與兩坐標軸的交點，再利用三角形的面積即可得出答案．

解答：解：∵f^′（x）=2x，∴f^′（a）=2a，即為切線的斜率，
∴切線的方程：y-a²=2a（x-a），即為y=2ax-a²．
切線與兩個坐標軸的交點為A(

a

2

，0)，B（0，-a²）．
∴△OAB的面積S=

1

2

×a2×

a

2

=

a3

4

．
又已知切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為2，
∴

a3

4

=2（a＞0），解得a=2．
故答案為2．

點評：利用導數得出切線的斜率并寫出切線的方程是解題的關鍵．