Question

（2013•黃岡模擬）定義：函數f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)f(x2)

=c （其中c為常數）成立，則稱函數f（x）在D上的幾何均值為c則 下列函數在其定義域上的“幾何均值”可以為2的是（　　）

A．y=x²+1

B．y=sinx+3

C．y=e^x（e為自然對數的底）

D．y=|lnx|

Answer 1

分析：根據所給的新定義，對選項進行一一判斷，即可得到答案．

解答：解：根據對于f（x）定義域內的任意一個自變量x₁，存在定義域內的唯一一個自變量x₂，使得成立的函數滿足

f(x1)f(x2)

=2，
對于選項A，y=x²+1，當x₁=0時，存在x₂=±

3

使得

f(x1)f(x2)

=2，故不符合題意；
對于選項B，y=sinx+3，當x₁=0時，不存在x₂使得

f(x1)f(x2)

=2，故不符合題意；
對于選項C，y=ex（e為自然對數的底）滿足對于f（x）定義域內的任意一個自變量x₁，存在定義域內的唯一一個自變量x₂，使得成立的函數滿足

f(x1)f(x2)

=2，故C正確；
對于選項D，y=|lnx|，當x₁=1時，存在x₂=e³，或x₂=e-³使得

f(x1)f(x2)

=2，故不符合題意；
綜上所述，在其定義域上的“幾何均值”可以為2的是選項C．
故選C．

點評：此題主要考查了應用新定義分析題意解決問題．對于新定義的問題，需要認真分析定義內容，切記不可偏離題目．屬于難題．