Question

（2013•黃岡模擬）數列{a_n}是公比為

1

2

的等比數列，且1-a₂是a₁與1+a₃的等比中項，前n項和為S_n；數列{b_n}是等差數列，b₁=8，其前n項和T_n滿足T_n=nλ•b_n+1（λ為常數，且λ≠1）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式及λ的值；
（Ⅱ）比較

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

與

1

2

S_n的大小．

Answer 1

分析：（I）根據1-a₂是a₁與1+a₃的等比中項，建立關于a₁的方程，解出a₁=

1

2

，從而得出數列{a_n}的通項公式．再由T_n=nλ•b_n+1分別取n=1、2，建立關于{b_n}的公差d與λ的方程組，解之即可得到實數λ的值；
（II）由（I）的結論，利用等比數列的求和公式算出S_n的表達式，從而得到

1

2

S_n=

1

2

-

1

2n+1

≥

1

4

．由等差數列的通項與求和公式算出{b_n}的前n項和T_n=4n²+4n，利用裂項求和的方法算出

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

，再將兩式加以比較，即可得到所求的大小關系．

解答：解：（Ⅰ）由題意，可得（1-a₂）²=a₁（1+a₃），
即（1-

1

2

a₁）²=a₁（1+

1

4

a₁），解之得a₁=

1

2

，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=

1

2

•（

1

2

）^n-1=

1

2n

，
又∵T_n=nλ•b_n+1，∴分別取n=1、2，可得

T1=λb2 T2=2λb3

，
∵數列{b_n}是等差數列，b₁=8，
∴設{b_n}的公差為d，可得

8=λ(8+d) 16+d=2λ(8+2d)

，解之得

λ= 1 2 d=8

或

λ=1 d=0

，
∵λ為常數，且λ≠1，∴λ=

1

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，
∴

1

2

S_n=

1

2

-

1

2n+1

≥

1

4

-------------①．
又∵等差數列{b_n}的首項b₁=8，公差d=8，
∴{b_n}的前n項和T_n=nb₁+

n(n-1)

2

×8=4n²+4n，
可得

1

Tn

=

1

4n2+4n

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

）
∴

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=

1

4

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

4

（1-

1

n+1

）＜

1

4

------②
根據①②可知：

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

≥

1

2

S_n．

點評：本題給出等差數列與等比數列滿足的條件，求它們的通項公式與前n項和公式，并依此比較兩個不等式的大小．著重考查了等差等比數列的通項與求和、數列求和的一般方法與不等式比較大小等知識，屬于中檔題．