Question

在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點．
（I）若點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；
（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）

（Ⅰ）依題意，點的坐標為，可設，
直線的方程為，與聯立得消去得．
由韋達定理得，．
于是．

，
當時，．
（Ⅱ）假設滿足條件的直線存在，其方程為，
的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，
則，點的坐標為．
，
，

，
．
令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，
即拋物線的通徑所在的直線．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得

，
又由點到直線的距離公式得．
從而，
當時，．
（Ⅱ）假設滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，
將直線方程代入得，
則．
設直線與以為直徑的圓的交點為，
則有．
令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，
即拋物線的通徑所在的直線．