Question

【題目】設函數．

（Ⅰ）證明：當時，；

（Ⅱ）設當時，，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）在證明不等式時一般可以通過等價變形將要證明的不等式簡化，本題中注意到時，，于是有，即令只需證明即可；（Ⅱ）由時，恒成立，故.

設，，．

設，，則.當，即時，，時，，，故.所以單調遞增，，故單調遞增，恒成立，符合題意.當，即時，存在，時，，單調遞減，，與恒成立矛盾.

試題解析：（Ⅰ）證明：注意到時，，

于是有，即.

令，．，令，得．

當變化時，的變化情況如下表：

可見在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，

，故當時，，即，從而，且當且僅當時等號成立．

（Ⅱ）解：由時，恒成立，故.

設，，

則．

設，，

則.

當，即時，，時，，，故.

所以單調遞增，，故單調遞增，恒成立，符合題意.

當，即時，存在，時，，單調遞減，，與恒成立矛盾.

綜合上述得實數的取值范圍是．