Question

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設點.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；
（3）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值。

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.
又橢圓的焦點在x軸上, ∴橢圓的標準方程為
(2)設線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標是(x₀,y₀),
由      得
又點P在橢圓上,得,
∴線段PA中點M的軌跡方程是
(3)當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S_△ABC=1.
當直線BC不垂直于x軸時,設該直線方程為y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
則,又點A到直線BC的距離d=,
∴△ABC的面積S_△ABC=
于是S_△ABC=
由≥－1,得S_△ABC≤,其中,當k=－時,等號成立.
∴S_△ABC的最大值是
點評：第二問中求軌跡方程用到的是相關點法，即設出所求點坐標，轉化到已知條件中的點然后代入已知橢圓方程；第三問需注意討論直線斜率存在不存在兩種情況，其中求最值用到了均值不等式，此題有一定的難度