Question

【題目】已知兩動圓和（），把它們的公共點的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸的交點為，且曲線上的相異兩點滿足：.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）證明直線恒經過一定點，并求此定點的坐標；

（3）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）設兩動圓的公共點為，由橢圓定義得出曲線是橢圓，并得出、、的值，即可得出曲線的方程；

（2）求出點，設點，，對直線的斜率是否存在分兩種情況討論，在斜率存在時，設直線的方程為，并將該直線方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，結合條件并代入韋達定理求出的值，可得出直線所過點的坐標，在直線的斜率不存在時，可得出直線的方程為，結合這兩種情況得出直線所過定點坐標；

（3）利用韋達定理求出面積關于的表達式，換元，然后利用基本不等式求出的最大值.

（1）設兩動圓的公共點為，則有：．

由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，，，所以曲線的方程是：；

（2）由題意可知：，設，，

當的斜率存在時，設直線，聯立方程組：

，把②代入①有：，

③，④，

因為，所以有，

，把③④代入整理：

，（有公因式）繼續化簡得：

，或（舍），

當的斜率不存在時，易知滿足條件的直線為：

過定點，綜上，直線恒過定點；

（3）面積，

由第（2）小題的③④代入，整理得：，

因在橢圓內部，所以，可設，

，，（時取到最大值）．

所以面積的最大值為．