Question

【題目】已知及．

（1）分別求、的定義域，并求的值；

（2）求的最小值并說明理由；

（3）若，，，是否存在滿足下列條件的正數，使得對于任意的正數，、、都可以成為某個三角形三邊的長？若存在，則求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）、的定義域均為；；（2），理由詳見解析；（3）存在，滿足題設條件.

【解析】

（1）利用被開方數大于可求函數的定義域，直接相乘化簡即可；

（2）利用基本不等式求出和的最小值，由等號同時成立可得出函數的最小值；

（3）利用構成三角形的條件，兩邊之和大于第三邊轉化為恒成立問題，利用（1）（2）的結論可得出實數的取值范圍．

（1）由得，則函數和的定義域都為，

；

（2）由基本不等式得，當且僅當時，即當時，等號成立.

由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.

因此，；

（3），

若能構成三角形，只需，則恒成立

由（1）知，，.

，，.

綜上，存在，滿足題設條件