Question

【題目】如圖，已知兩個城市、相距，現計劃在兩個城市之間合建一個垃圾處理廠，立即處理廠計劃在以為直徑的半圓弧上選擇一點建造（不能選在點、上），其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城和城的總影響度為城和城的影響度之和，記點到城的距離為（單位是），建在處的垃圾處理廠對城和城的總影響度為，統計調查表明：垃圾處理廠對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為100，對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為，當垃圾處理廠建在上距離城20公里處時，對城和城的總影響度為.

（1）將表示成的函數；

（2）求當垃圾處理廠到、兩城市距離之和最大時的總影響度的值；

（3）求垃圾處理廠對城和城的總影響度的最小值，并求出此時的值.（計算結果均用精確值表示）

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3），此時.

【解析】

（1）先得到，代入數據計算得到答案.

（2）利用均值不等式得到，代入函數計算得到答案.

（3）變形為，利用均值不等式計算得到答案.

(1)由題意知,

其中當 時,,解得

所以表示成的函數為

(2) ，則

當時，等號成立，此時

代入函數得到

（3）

當即時等號成立.