Question

（08年長郡中學(xué)一模理）如圖，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線為對應(yīng)的準(zhǔn)線，直線與軸交于點(diǎn)，為橢圓的長軸，已知，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：對于任意的割線，恒有；

（3）求三角形△ABF面積的最大值．

Answer 1

解析:（1）∵，∴，

又∵，∴，

∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．      ………（3分）

（2）當(dāng)的斜率為0時(shí)，顯然=0，滿足題意，

當(dāng)的斜率不為0時(shí)，設(shè)方程為，

代入橢圓方程整理得：．

，，．

則

 

  ，

而

∴，從而．

綜合可知：對于任意的割線，恒有．         ………（8分）

（3），

即：，

當(dāng)且僅當(dāng)，即（此時(shí)適合于的條件）取到等號．

∴三角形△ABF面積的最大值是．                             ………（13分）