Question

（08年長郡中學一模文）（12分）如圖，某建筑物的基本單元可近似地按以下方法構作：先在地平面內作菱形ABCD，邊長為1，∠BAD＝60°，再在面的上方，分別以△與△為底面安裝上相同的正棱錐P-ABD與Q-CBD，∠APB＝90°．

（Ⅰ）求證：PQ⊥BD；

（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；    

（Ⅲ）求點P到平面QBD的距離；

Answer 1

解析：（Ⅰ）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱錐，可知△PBD與

 

△QBD是全等等腰△．

取BD中點E，連結PE、QE，則BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，

從而BD⊥PQ．                            …………………………4分

　（Ⅱ）由（1）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角，作PM⊥平面，垂足為M，作QN⊥平面，垂足為N，則PM∥QN，M、N分別是正△ABD與正△BCD的中心，從而點A、M、E、N、C共線，PM與QN確定平面PACQ，且PMNQ為矩形．可得ME＝NE＝，PE＝QE＝，PQ＝MN＝，

∴　cos∠PEQ＝，即二面角為．……………………8分

  （Ⅲ）　由（1）知BD⊥平面PEQ．設點P到平面QBD的距離為h，則

 

∴　．

∴　．　　∴　．      ……………12分