Question

（08年長郡中學一模理）（12分）已知在多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC = AD = CD = DE = 2，

F為CD的中點．

（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；

（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小；

（Ⅲ）求點A到平面BCD的距離的取值范圍．

 

Answer 1

解析:（Ⅰ）證明：∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，∴DE⊥平面ACD，∵AF平面ACD，

∴DE⊥AF．又∵AC=AD=CD，F為CD中點，∴AF⊥CD．

∵DEÌ平面CDE，CDÌ平面CDE，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE．

   （Ⅱ）解法一：∵AB∥DE，AB(/平面CDE，DEÌ平面CDE，∴AB∥平面CDE，設平面ABC∩平面CDE＝l，則l∥AB．即平面ABC與平面CDE所成的二面角的棱為直線l．

∵AB^平面ADC，∴l^平面ADC．∴l^AC，l^DC．∴ÐACD為平面ABC與平面CDE所成二面角的平面角．∵AC＝AD＝CD，∴ÐACD＝60°，∴平面ABC和平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°．

（Ⅱ）解法二：如圖，以F為原點，過F平行于DE的直線為x軸，FC，FA所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系．∵AC＝2，∴A(0，0，)，設AB＝x，B(x，0，)，C(0，1，0)

((AB＝(x，0，0)，((AC＝(0，1，－)，設平面ABC的一個法向量為n＝(a，b，c)，

則由((AB×n＝0，((AC×n＝0，得a＝0，b＝c，不妨取c＝1，則n＝(0，，1)．

∵AF^平面CDE，∴平面CDE的一個法向量為((FA＝(0，0，)．

cos＜n，((FA＞＝ eq \o(\s\up8(((FA＝，＜n，((FA＞＝60°．

∴平面ABC與平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°．