Question

已知拋物線y²=2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：首先判斷A的位置，在拋物線內(nèi)部，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為A到準(zhǔn)線的距離就是|PA|+|PF|的最小值，然后求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：將x=3代入拋物線方程y2=2x，得y=±

6

，∵

6

＞2，∴A在拋物線內(nèi)部．
設(shè)拋物線上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x=-

1

2

的距離為d，
由定義知|PA|+|PF|=|PA|+d，由圖可知，當(dāng)PA⊥l時(shí)，|PA|+d最小，最小值為

7

2

，此時(shí)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
代入y²=2x，得x=2．所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查拋物線的定義和性質(zhì)得應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．