Question

已知拋物線y²=2x，設A，B是拋物線上不重合的兩點，且

OA

⊥

OB

，

OM

=

OA

+

OB

，O為坐標原點．
（1）若|

OA

|=|

OB

|，求點M的坐標；
（2）求動點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）若|

OA

|=|

OB

|，由拋物線的對稱性知，AB垂直于橫軸，可設直線AB的方程是x=b，用b表示出兩點A，B的坐標，再由

OA

⊥

OB

建立方程求出b即可，利用向量的坐標運算，求出向量OM的坐標既得點M的坐標．
（2）設出直線AB的方程y=kx+b，與拋物線的方程聯立，利用

OA

⊥

OB

，找出兩參數的關系，用參數表示出兩點A，B的橫坐標的和與縱坐標的和，即得出點M的坐標的參數方程，消去參數即得點M的軌跡方程．

解答：解：（1）若|

OA

|=|

OB

|，由拋物線的對稱性知，AB垂直于橫軸，可設直線AB的方程是x=b，可解得A，B兩點的坐標分別為（b，

2b

），（b，-

2b

），則

OA

=（b，

2b

）

OB

=（b，-

2b

），有

OA

⊥

OB

得b²-2b=0，得b=0（舍），b=2，故，B兩點的坐標分別為（2，2），（2，-2）
又

OM

=

OA

+

OB

=（4，0），故點M的坐標為（4，0），
（2）當斜率不存在時，由（1）知點M的坐標為（4，0），
當斜率存在時，可設過兩點A，B的直線方程為x=ny+m代入拋物線y²=2x得y²=2ny+2m，即y²-2ny-2m=0，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有y₁y₂=-2m，y₁+y₂=2n，
故有x₁x₂=（ny₁+m）（ny₂+m）=n²y₁y₂+nm（y₁+y₂）+m²=-2mn²+2mn²+m²=m²，
    x₁+x₂=n（y₁+y₂）+2m=2n²+2m
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴-2m+m²=0，得m=2或m=0（舍）
∵

OM

=

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（2n²+2m，2n）=（2n²+4，2n），令M（x，y），則有

x=2n2+4 y=2n

，消去參數得x=

y2

2

+4，即y²=2x-8
驗證知點M的坐標為（4，0）符合y²=2x-8
故動點M的軌跡方程是y²=2x-8

點評：本題考查向量在幾何中的應用，考查了由拋物線的簡單性質，以及根據拋物線的兩點之間的位置關系求動點的軌跡方程，求解本題的關鍵是厘清題設中所給的條件，以及向量的坐標運算，數量積與垂直的關系，向量垂直時坐標之間的關系，本題的難點在于設出過兩點AB的直線方程與拋物線聯立尋求拋物線上兩點的坐標之間的參數表示，解題過程中要聯想到所解出的坐標方程與題設中位置關系的聯系．解題最后所得的點M的參數方程，由于近幾年大多教材都刪去了參數方程這一部分的知識，故在做此題時，沒有學過參數方程的同學解出

x=2n2+4 y=2n

就不用再往下化簡了．