Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（Ⅱ）設函數，在（Ⅰ）的條件下，試判斷在上是否存在極值．若存在，判斷極值的正負；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時， 在上不存在極值；當時， 在上存在極值，且極值均為正．

【解析】試題分析：（1）不等式恒成立問題，一般先利用變量分離轉化為對應函數最值問題： 的最大值，利用導數研究函數最值，易得在上單調遞減，所以，因此，（2）即研究導函數的零點情況，先求導數，確定研究對象為，再求目標函數導數，確定單調性：先增后減，兩個端點值都小于零，討論最大值是否大于零，最后結合零點存在定理確定極值點個數.

試題解析：解：（Ⅰ）由，得．

即在上恒成立．

設函數， ．

則．

∵，∴．

∴當時， ．

∴在上單調遞減．

∴當時， ．

∴，即的取值范圍是．

（Ⅱ）， ．

∴．

設，則．

由，得．

當時， ；當時， ．

∴在上單調遞增，在上單調遞減．

且， ， ．

據（Ⅰ），可知．

（ⅰ）當，即時， 即．

∴在上單調遞減．

∴當時， 在上不存在極值．

（ⅱ）當，即時，

則必定，使得，且．

當變化時， ， ， 的變化情況如下表：

	-	0	+	0	-
	-	0	+	0	-
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴當時， 在上的極值為，且．

∵．

設，其中， ．

∵，∴在上單調遞增， ，當且僅當時取等號．

∵，∴．

∴當時， 在上的極值．

綜上所述：當時， 在上不存在極值；當時， 在上存在極值，且極值均為正．

注：也可由，得．令后再研究在上的極值問題．