Question

【題目】已知方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷f（x）的單調(diào)性和極值，得出方程f（x）=t的根的分布情況，從而得出關(guān)于t的方程t2﹣kt+1=0的根的分布情況，利用二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列不等式求出k的范圍．

f′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，

令f′（x）=0，解得x=0或x=﹣2，

∴當(dāng)x＜﹣2或x＞0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞增，在（﹣2，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x=﹣2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（﹣2）=，

當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極小值f（0）=0．

作出f（x）的大致函數(shù)圖象如圖所示：

令f（x）=t，則當(dāng)t=0或t＞時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=t只有1解；

當(dāng)t=時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=t有2解；

當(dāng)0＜t＜時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=t有3解．

∵g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有四個(gè)零點(diǎn)，

∴關(guān)于t的方程t2﹣kt+1=0在（0，）上有1解，在（，+∞）∪{0}上有1解，

顯然t=0不是方程t2﹣kt+1=0的解，

∴關(guān)于t的方程t2﹣kt+1=0在（0，）和（，+∞）上各有1解，

∴，解得k＞．

故選：B．