Question

【題目】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度x （單位：尾/立方米）的函數(shù)．當(dāng)x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當(dāng)4＜x≤20時，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年．
（1）當(dāng)0＜x≤20時，求v關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得當(dāng)0＜x≤4時，v=2；

當(dāng)4＜x≤20時，設(shè)v=ax+b，

由已知得： ，解得： ，

所以v=﹣ x+ ，

故函數(shù)v=

（2）解：設(shè)年生長量為f（x）千克/立方米，

依題意并由（1）可得f（x）=

當(dāng)0＜x≤4時，f（x）為增函數(shù)，故f（x）max=f（4）=4×2=8；

當(dāng)4＜x≤20時，f（x）=﹣ x2+ x=﹣ （x2﹣20x）=﹣ （x﹣10）2+ ，

f（x）max=f（10）=12.5．

所以當(dāng)0＜x≤20時，f（x）的最大值為12.5．

即當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米

【解析】（1）當(dāng)4＜x≤20時，設(shè)v=ax+b，根據(jù)待定系數(shù)法求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)f（x）的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最大值即可．