Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn＝4n，數列{bn}滿足b1＝－3，

bn＋1＝bn＋(2n－3)(n∈N*)．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)求數列{bn}的通項公式；

(3)若cn＝，求數列{cn}的前n項和Tn.

Answer 1

【答案】(1) 當n＝1時an＝4， 當 n≥2時，an＝3×4n-1. (2) bn＝n2－4n(n∈N*)．(3)Tn＝［4+(3n-13)×4n］/3

【解析】試題分析：（1）利用Sn與an的關系求出數列{an}的通項公式；（2）利用累加法求出數列{bn}的通項公式；（3）利用錯位相減法求出數列{cn}的前n項和Tn.

試題解析：

解：(1)∵Sn＝4n，∴Sn－1＝4n－1(n≥2)，

∴an＝Sn－Sn－1＝4n－4n－1＝3×4n－1(n≥2)．

當n＝1時，3×41－1＝3≠S1＝a1＝4，

∴當n＝1時an＝4， 當 n≥2時，an＝3×4n-1.

(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－3)，

∴b2－b1＝-1，b3－b2＝1，b4－b3＝3，…，bn－bn－1＝2n－5(n≥2)．

以上各式相加得

bn－b1＝-1+1＋3＋5＋…＋(2n－5)＝（n-1）(n-3)(n≥2)．

∵b1＝－3，∴bn＝n2－4n(n≥2)．

又上式對于n＝1也成立，

∴bn＝n2－4n(n∈N*)．

(3)由題意得當n=1時，cn＝-12， 當n≥2時，cn＝3(n－4)×4n-1.

①當n=1時, Tn＝-12

②當n≥2時，Tn＝－12＋3×（-2）×41＋3×（-1）×42＋3×1×43＋…＋3(2n－3)×4n－1，

∴4Tn＝－48＋3×（-2）×42＋3×（-1）×43＋3×1×44＋…＋3(2n－3)×4n.

相減得－3Tn＝12＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－1－3(2n－3)×4n.

∴Tn＝(n-4)×4n－(4＋42＋43＋…＋4n－1)＝［4+(3n-13)×4n］/3

又上式對于n＝1也成立，

∴綜上Tn＝［4+(3n-13)×4n］/3