Question

【題目】從圓周的九等分點中，任取五點染為紅色．證明：存在以紅點為頂點的不同的六個三角形，滿足，，．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

注意如下事實：

（1）以、為底的等腰梯形中，存在兩對全等三角形：，，并且梯形的每個頂點都在其中一對全等三角形中兩次出現．

（2）若是等腰梯形兩底、中垂線上的任一點，則．

（i）先證明，五個紅點中，必有某四點構成等腰梯形的四個頂點．

不妨設圓周上九等分點相鄰兩個分點間的弧長為1．再設一條弦，如果其所對的劣弧長為，則稱該弦的“刻度”為．于是，以分點為端點的弦的刻度只有1、2、3、4四種情況．顯然，兩弦相等當且僅當其刻度相等．五個紅點共得條紅端點的弦，其中必有三條弦具有相同的刻度，由于對每個，同一點只能發出兩條刻度為的弦．注意到以九等分點為端點的任一條弦不為直徑，因此，若兩條等弦無公共端點，則其四個端點便構成等腰梯形的四個頂點．

若這三條等弦不圍成三角形，則其中有兩條等弦無公共端點．于是，其四個端點構成等腰梯形的四個頂點．

若這三條等弦圍成三角形，則是正三角形．于是，這三條弦的刻度皆為3．若還有刻度為3的弦，則該弦與正三角形的每條邊無公共端點．此時，弦與正三角形的每一條邊所形成的四個端點都構成等腰梯形的四個頂點．若除了正三角形的邊之外，再無刻度為3的弦，去掉這三條弦，剩下的7條弦只有1、2、4這三種刻度，其中必有三條弦具有相同的刻度，這三條等弦不可能圍成三角形．因此，其中有兩條等弦無公共端點．于是，其四個端點便構成等腰梯形的四個頂點．

（ii）由于弦的刻度只有1、2、3、4四種情況，故等腰梯形上下兩底的“刻度對”只有，，，，，這六種可能，順次如下圖所示．

以下用梯形兩底的刻度對表示相應的梯形圖．

據（1）知，每個等腰梯形中都存在兩對全等三角形．

再考慮第五個紅點．

若該紅點為兩底中垂線上的點，據（2）知，存在另一對全等三角形．

若該紅點異于點，據圖形的對稱性，只需考慮紅點為或的情況．再證明：無論增加紅點或，圖形中都將新增一個等腰梯形．

i）若增加紅點，則在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形．

ii）若增加紅點，則在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形，在圖中增加了梯形．

而據（1），新增紅點必在新增梯形的一對全等三角形中兩次出現，也就是增加了一對新的全等三角形．

因此，給出的五個紅點中，存在六個以紅點為頂點的三角形，它們可配成全等的三對．

故本題得證．