Question

【題目】已知函數y=x+ 有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數在（0， ]上是減函數，在[ ，+∞）上是增函數．
（1）若f（x）=x+ ，函數在（0，a]上的最小值為4，求a的值；
（2）對于（1）中的函數在區間A上的值域是[4，5]，求區間長度最大的A（注：區間長度=區間的右端點﹣區間的左斷點）；
（3）若（1）中函數的定義域是[2，+∞）解不等式f（a2﹣a）≥f（2a+4）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意的：函數f（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增，

當a＞ 時，即a＞1時函數在x= 處取得最小值，

∴f（ ）=2 =4，解得a=4，

當a＜ 時，即0＜a＜1時，函數在x=a處取得最小值，

∴f（a）=a+1=4，解得a=3不符合題意，舍去．

綜上可得 a=4

（2）解：由（1）得f（x）=x+ ，又x=2時函數取得最小值4，

令x+ =5，則x2﹣5x+4=0，解得 x=1或 x=4，

又2∈[1，4]，

∴區間長度最大的A=[1，4]

（3）解：由（1）知函數在[2，+∞）上單調遞增，

∴原不等式等價于 ，

解得a≥4或a=﹣1，

∴不等式的解集{a|a≥4或a=﹣1}

【解析】（1）利用性質，討論 與區間（0，a]的關系，從而利用最小值是4，建立條件關系．（2）根據值域為[4，5]，確定對應的變量x，然后判斷最大的區間．（3）利用函數的單調性，解不等式即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．