Question

【題目】設(shè)函數(shù)（），，

(Ⅰ) 試求曲線在點(diǎn)處的切線l與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；(Ⅱ) 若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（附：當(dāng)，x趨近于0時(shí)， 趨向于）

Answer 1

【答案】（1）兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）．

【解析】試題分析：（1）計(jì)算出及，根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程，將切線方程與聯(lián)立可得方程，設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)，可得其在內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合， ，可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）題意等價(jià)于在至少有兩不同根，當(dāng)時(shí)， 是的根，根據(jù)圖象的交點(diǎn)可知有一個(gè)零點(diǎn)，除去同根；當(dāng)顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，題意等價(jià)于在至少有兩不同根，對(duì)其求導(dǎo)判斷單調(diào)性，考慮極值與兩端的極限值可得結(jié)果.

試題解析：（1）∵， ，

切線的斜率為，

∴切線的方程為，即，

聯(lián)立，得；

設(shè)，則，

由及，得或，

∴在和上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞減，

又， ，所以， ，

∴方程有兩個(gè)根：1和，從而切線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)．

(2)由題意知在至少有兩不同根，

設(shè)，

①當(dāng)時(shí)， 是的根，

由與（）恰有一個(gè)公共點(diǎn)，可知恰有一根，

由得，不合題意，

∴當(dāng)且時(shí)，檢驗(yàn)可知和是的兩個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)， 在僅一根，所以不合題意；--9分

③當(dāng)時(shí)，需在至少有兩不同根，

由，得，所以在上單調(diào)遞增，

可知在上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>， 趨近于0時(shí)， 趨向于，且時(shí)， ，

由題意知，需，即，解得，

∴．

綜上知， ．