Question

【題目】已知函數f（x）=ln（ax+1）﹣ax﹣lna．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若h（x）=ax﹣f（x），當h（x）＞0恒成立時，求a的取值范圍；
（3）若存在 ，x2＞0，使得f（x1）=f（x2）=0，判斷x1+x2與0的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）=ln（ax+1）﹣ax﹣lna，所以 且a＞0

易知f（x）的定義域為 ，

又a＞0，在區間 上，f'（x）＞0；在區間（0，+∞上，f′（x）＜0，

所以f（x）在（﹣ ，0）上是增函數，在（0，+∞）上是減函數

（2）解：因為a＞0，h（x）=ax﹣f（x），則h（x）=2ax﹣ln（x+ ），

由于h′（x）=2a﹣ = ，

所以在區間（﹣ ，﹣ ）上，h′（x）＜0；在區間（﹣ ，+∞）上，h′（x）＞0，

故h（x）的最小值為h（﹣ ），所以只需h（﹣ ）＞0，

即 ，即 ，解得a＞ ，

故a的取值范圍是：（ ，+∞）

（3）解：x1+x2與0的大小關系是x1+x2＞0．

構造函數 ，

則 ， ，

因為 ，所以 ，0＜a2x2＜1，﹣1＜a2x2﹣1＜0， ，

則 ，即g'（x）＜0，所以函數g（x）在區間 上為減函數．

因為 ，所以g（x1）＞g（0）=0，

于是f（﹣x1）﹣f（x1）＞0，又f（x1）=0，

則f（﹣x1）＞0=f（x2），由f（x）在（0，+∞）上為減函數，

可知x2＞﹣x1，即x1+x2＞0

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）求出h（x）的導數，根據函數的單調性求出h（x）的最小值，問題轉化為 ，解出即可；（3）構造函數 ，求出函數的導數，根據函數的單調性得到f（﹣x1）﹣f（x1）＞0，判斷出x1+x2與0的大小關系即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．