Question

【題目】已知橢圓 的一個焦點與拋物線 的焦點 重合，且點 到直線 的距離為 ， 與 的公共弦長為 .
（1）求橢圓 的方程及點 的坐標；
（2）過點 的直線 與 交于 兩點，與 交于 兩點，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 的焦點 的坐標為 ，

由點 到直線 的距離為 得 .

∵ ，解得 ，又 為橢圓的一個焦點，∴ .

∵ 與 的公共弦長為 ， 與 都關于 軸對稱，

而 的方程為 ，從而 與 的公共點的坐標為 ，

∴ ②，

聯立①②解得 ，

∴ 的方程為 ，點 的坐標為

（2）解：當 過點 且垂直于 軸時， 的方程為 代入 求得 ，

∴ ，把 代入 求得 ，∴ ，

此時 .

當 與 軸不垂直時，要使 與 有兩個交點，可設 的方程為 ，

此時設

把直線 的方程與橢圓 的方程聯立得 ，

消去 化簡得 ，

可得 ，

∴ ，

把直線 的方程與拋物線 的方程聯立得 ，

消去 化簡得 ，

可得 ，

∴ ，

,

∵ ，∴ ，∴ ，

∴ ，

綜上可得 的取值范圍是

【解析】(1)由已知求出拋物線的焦點可得出 ,再利用點到直線的距離公式求得c的值，進而得到焦點的坐標然后求出拋物線的方程，再由已知再設出公共端點的坐標利用弦長公式 代入數值求出交點坐標，然后把數值帶入到橢圓的方程計算得出a、b的值進而得到橢圓的方程。(2)由題意結合直線點斜式設出直線的方程，代入到拋物線的方程和橢圓的方程消去y得到的關于x的一元二次方程，利用韋達定理和弦長公式即可求得的代數式，把結果代入到要求的式子里結合該式子的特點整理即可求出上式的取值范圍。