Question

【題目】已知， ．

（1）求 的值；

（2）試猜想的表達式（用一個組合數表示），并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）1，3，10；（2）=

【解析】試題分析：（1）代入，根據組合數依次求出 的值；（2）根據數值猜想=，利用倒序相加法可求出的表達式

試題解析：解：（1）由條件， ①，

在①中令，得．

在①中令，得，得．

在①中令，得，得．

（2）猜想=（或=）．

欲證猜想成立，只要證等式成立．

方法一：當時，等式顯然成立，

當時，因為，

故．

故只需證明．

即證．

而，故即證 ②．

由等式可得，左邊的系數為．

而右邊 ，

所以的系數為．

由恒成立可得②成立.

綜上， 成立.

方法二：構造一個組合模型，一個袋中裝有個小球，其中n個是編號為1，2，…，n的白球，其余n－1個是編號為1，2，…，n－1的黑球，現從袋中任意摸出n個小球，一方面，由分步計數原理其中含有個黑球（個白球）的n個小球的組合的個數為， ，由分類計數原理有從袋中任意摸出n個小球的組合的總數為．

另一方面，從袋中個小球中任意摸出n個小球的組合的個數為．

故，即②成立. 余下同方法一.

方法三：由二項式定理，得 ③．

兩邊求導，得 ④．

③×④，

得 ⑤．

左邊的系數為．

右邊的系數為

．

由⑤恒成立，可得．

故成立.