Question

【題目】已知定義在[0，1]上的函數f（x）滿足：
①f（0）=f（1）=0；
②對所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．
若對所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，則m的最小值為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：依題意，定義在[0，1]上的函數y=f（x）的斜率|k|＜ ，
依題意可設k＞0，構造函數f（x）= （0＜k＜ ），滿足f（0）=f（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜ |x﹣y|．
當x∈[0， ]，且y∈[0， ]時，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k| ﹣0|=k× ＜ ；
當x∈[0， ]，且y∈[ ，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+ ）﹣k|= ＜ ；
當y∈[0， ]，且x∈[ ，1]時，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜ ；
當x∈[ ，1]，且y∈[ ，1]時，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣ ）= ＜ ；
綜上所述，對所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜ ，
∵對所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，
∴m≥ ，即m的最小值為 ．
故選：B．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．