Question

【題目】如圖，四棱柱的底面是正方形，為和的交點，

若。

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：第一問把握題中的條件，挖掘有用的信息，找到垂直的條件，應用線面垂直的判定定理證得結果，第二問利用空間向量求二面角，先根據垂直關系，建立相應的空間直角坐標系，求出面的法向量，利用數量積與模求得余弦值，最后結合法向量的方向確定最后的結果.

詳解：（1）證明：連接，

由題意知均是邊長為2的等邊三角形，

所以 ，所以。

因為底面是正方形，所以與垂直平分于點，

所以，且，

因為，所以，

因為平面，所以平面。

（2）由（1）可知平面，所以，

所以為二面角的平面角，

以為原點，建立空間直角坐標系，如圖，

則，

所以，

所以二面角的余弦值為。