Question

【題目】如圖，P是拋物線E：y2＝4x上的動點，F是拋物線E的焦點．

（1）求|PF|的最小值；

（2）點B，C在y軸上，直線PB，PC與圓（x﹣1）2+y2＝1相切．當|PF|∈[4，6]時，求|BC|的最小值．

Answer 1

【答案】（1）|PF|的最小值為1（2）

【解析】

（1）求得拋物線的焦點和準線方程，運用拋物線的定義和性質，即可求得|PF|的最小值；

（2）設，分別求得的方程，運用直線和圓相切，得到為方程的兩根，再由韋達定理可得，進而可求得其最小值．

（1）P是拋物線E：y2＝4x上的動點，F是拋物線E的焦點（1，0），準線方程為x＝﹣1，

由拋物線的定義可得|PF|＝d＝xP+1，

由，可得d的最小值為1，|PF|的最小值為1；

（2）設，

則PB的方程為yx+m，PC的方程為yx+n，

由直線PA與圓（x﹣1）2+y2＝1相切，可得1，

整理得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0＝0，

同理可得（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0＝0，

即有m，n為方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0＝0的兩根，可得m+n，mn，

則|m﹣n|，

由|PF|∈[4，6]，可得x0+1∈[4，6]，即x0∈[3，5]，

令t＝|2﹣x0|＝x0﹣2，t∈[1，3]，

即有|m﹣n|2在[1，3]遞減，

可得t＝3即x0＝5時，|BC|＝|m﹣n|取得最小值．