Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an﹣1．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列{bn}滿足bn＝anlog2an+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n﹣1（2）Tn＝1+（n﹣1）2n

【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求通項(xiàng)；

（2）求得bn＝anlog2an+1＝n2n﹣1，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．

（1）Sn＝2an﹣1，可得n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1﹣1，即有a1＝1，

n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，即為an＝2an﹣1，

可得{an}為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，

可得an＝2n﹣1；

（2）bn＝anlog2an+1＝n2n﹣1，

前n項(xiàng)和Tn＝120+221+…+n2n﹣1，

2Tn＝12+222+…+n2n，

相減可得﹣Tn＝1+2+…+2n﹣1﹣n2n

n2n，

化簡可得Tn＝1+（n﹣1）2n．