Question

已知平面內一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y軸的距離的差等于1.
(1)求動點P的軌跡C的方程.
(2)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁,l₂,設l₁與軌跡C相交于點A,B,l₂與軌跡C相交于點D,E,求·的最小值.

Answer 1

(1) y²=4x(x≥0)和y=0(x<0)   (2) 16

(1)設動點P的坐標為(x,y),由題意得-|x|=1.化簡得y²=2x+2|x|,
當x≥0時,y²=4x;當x<0時,y=0.
所以動點P的軌跡C的方程為
y²=4x(x≥0)和y=0(x<0).
(2)由題意知,直線l₁的斜率存在且不為0,設為k,則l₁的方程為y=k(x-1).
由得k²x²-(2k²+4)x+k²=0.
設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則x₁,x₂是上述方程的兩個實根,于是x₁+x₂=2+,x₁x₂=1.
因為l₁⊥l₂,所以l₂的斜率為-.
設D(x₃,y₃),E(x₄, y₄),
則同理可得x₃+x₄=2+4k²,x₃x₄=1.
·=(+)·(+)
=·+·+·+·
=·+·=||·||+||·||
=(x₁+1)(x₂+1)+(x₃+1)(x₄+1)
=x₁x₂+(x₁+x₂)+1+x₃x₄+(x₃+x₄)+1
=1+(2+)+1+1+(2+4k²)+1
=8+4(k²+)≥8+4×2=16.
故當且僅當k²=,即k=±1時,·取最小值16.