Question

【題目】（本小題14分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分別為AD，PB的中點.

（Ⅰ）求證：PE⊥BC；

（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD；

（Ⅲ）求證：EF∥平面PCD.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）見解析

（Ⅲ）見解析

【解析】分析：（1）欲證，只需證明即可；（2）先證平面，再證平面PAB⊥平面PCD；（3）取中點，連接，證明，則平面.

詳解：

（Ⅰ）∵，且為的中點，∴.

∵底面為矩形，∴，

∴.

（Ⅱ）∵底面為矩形，∴.

∵平面平面，∴平面.

∴.又,

∵平面，∴平面平面.

（Ⅲ）如圖，取中點，連接.

∵分別為和的中點，∴，且.

∵四邊形為矩形，且為的中點，

∴，

∴，且，∴四邊形為平行四邊形，

∴.

又平面，平面，

∴平面.