Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，側面為正三角形且二面角為．

（Ⅰ）設側面與的交線為，求證：；

（Ⅱ）設底邊與側面所成角的為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）通過得到側面，再通過線面平行性質定理可得結論；（2）取中點、中點，連、，根據二面角定義可得，以為原點，為軸，為軸，如圖建立右手空間直角坐標系，求出平面的法向量，根據 可得結果.

試題解析：（1）因為，所以側面．

又因為側面與的交線為，所以．

（2）

取中點、中點，連、，

則、．

所以是側面與底面成二面角的平面角．

從而．

作于，則底面．

因為，，

所以，．

以為原點，為軸，為軸，如圖建立右手空間直角坐標系．

則，，．

設是平面的法向量，

則 ，．取．

則 ．