Question

【題目】已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)，，且時(shí)，若恒有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.

【解析】試題分析：由題意點(diǎn)處的切線方程為，求出的值，繼而求出函數(shù)的單調(diào)性利用單調(diào)性將問題中的絕對值去掉，構(gòu)造新函數(shù)來證明結(jié)論。

解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，，可知.

.

當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）函數(shù)

.

令，，

當(dāng)時(shí)，可知，

故恒成立，

可知，在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，

不妨設(shè)，且，

則變?yōu)?/span>，

即，

設(shè)函數(shù)

，

由，得在時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，即，

即，

也即對與恒成立.

因?yàn)?/span>，可知時(shí)，取最大值，

即 .

對時(shí)恒成立，

由，可知，

即取值范圍為.