Question

【題目】設函數f（x）=|2x+a|+|x﹣ |（x∈R，實數a＜0）．
（Ⅰ）若f（0）＞ ，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：f（x）≥ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a＜0，∴f（0）=|a|+|﹣ |=﹣a﹣ ＞ ， 即a2+ a+1＞0，
解得a＜﹣2或﹣ ＜a＜0；
（Ⅱ）證明：f（x）=|2x+a|+|x﹣ |= ，
當x≥﹣ 時，f（x）≥﹣ ﹣ ；
當 ＜x＜﹣ 時，f（x）＞﹣ ﹣ ；
當x≤ 時，f（x）≥﹣a﹣ ，
∴f（x）min=﹣ ﹣ ≥2 = ，
當且僅當﹣ =﹣ 即a=﹣ 時取等號，
∴f（x）≥ ．
【解析】（Ⅰ）去掉絕對值號，解關于a的不等式組，求出a的范圍即可（Ⅱ）通過討論x的范圍，結合基本不等式的性質求出求出f（x）的最小值即可．
【考點精析】通過靈活運用絕對值不等式的解法，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號即可以解答此題．