Question

【題目】已知函數f（x）= ax2+lnx，a∈R． （Ⅰ）若曲線y=f（x）與直線y=3x+b在x=1處相切，求實數a，b的值；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若a=0時，函數h（x）=f（x）+bx有兩個不同的零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）= ax2+lnx，x＞0， ∴f′（x）=ax+ ，
∵曲線y=f（x）與直線y=3x+b在x=1處相切，
∴f′（1）=a+1=3，
∴a=2，
∴f（1）=1+ln1=1，
∴1=3+b，
∴b=﹣2，
（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=ax+ ，
當a≥0時，f′（x）=ax+ ＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當a＜0時，令f′（x）=0，解得x= = ，
當x∈（0， ）時，f′（x）＞0，函數單調遞增，
當x∈（ ，+∞）時，f′（x）＜0，函數單調遞減，
（Ⅲ）a=0時，函數h（x）=f（x）+bx=lnx+bx
令m（x）=lnx，n（x）=﹣bx，
要使得h（x）有兩個零點，即使得m（x）和n（x）圖象有兩個交點（如圖），
容易求得m（x）和n（x）的切點為（e，1），
∴0＜﹣b＜ ，即﹣ ＜b＜0．

【解析】（Ⅰ）根據導數的幾何意義即可求出k，b的值，（Ⅱ）先求導，再分類討論，根據導數和函數的單調性關系即可求出．（Ⅲ）當a=0時，若函數h（x）有兩個不同的零點，利用數形結合即可求b的取值范圍；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．