Question

【題目】黑板上寫(xiě)有1，2，…，2014這2014個(gè)正整數(shù).現(xiàn)進(jìn)行如下操作：第一步劃去最前面的兩個(gè)數(shù)l、2，并在2014后面寫(xiě)上這兩數(shù)的和3；第二步劃去最前面的三個(gè)數(shù)3、4、5，并在最后面寫(xiě)上這三數(shù)的和12；如此繼續(xù)下去.當(dāng)?shù)凇瓴綍r(shí)，黑板上的數(shù)不夠個(gè)，停止操作.求在黑板上出現(xiàn)過(guò)的不同數(shù)的個(gè)數(shù)及這些不同數(shù)的和（若一個(gè)數(shù)多次出現(xiàn)，只計(jì)算一次）.

Answer 1

【答案】

【解析】

由于第步后黑板上的數(shù)減少個(gè)，故

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顯然，黑板上的所有數(shù)之和是一個(gè)不變量.

第步劃去的個(gè)數(shù)為，

寫(xiě)上的數(shù)為.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

故前14步所寫(xiě)的數(shù)均小于2014，以后所寫(xiě)的數(shù)均大于2014.

第62步劃去的數(shù)為這62個(gè)數(shù)及，

寫(xiě)上的數(shù)為.

上述所寫(xiě)的新數(shù)兩兩不同，故黑板上出現(xiàn)的不同數(shù)有（個(gè)）.

黑板上初始的數(shù)為，最后剩下的數(shù)之和為，其中，已出現(xiàn)過(guò)，故黑板上出現(xiàn)過(guò)的不同數(shù)之和為

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