Question

【題目】一緝私艇發現在方位角45°方向，距離12海里的海面上有一走私船正以10海里/小時的速度沿方位角為105°方向逃竄，若緝私艇的速度為14海里/小時，緝私艇沿方位角45°+α的方向追去，若要在最短的時間內追上該走私船，求追擊所需時間和α角的正弦．（注：方位角是指正北方向按順時針方向旋轉形成的角，設緝私艇與走私船原來的位置分別為A、C，在B處兩船相遇）．

Answer 1

【答案】解：由條件知∠ACB=120°，AC=12海里，
設緝私船t小時后追上該走私船，可得BC=10t，AB=14t，
∴由正弦定理 = 得： = ，
∴sinα= ，
由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos∠ACB得：（14t）2=122+（10t）2﹣240tcos120°，
解得：t=2或t=﹣ （舍），
∴t=2小時，sinα= ．
【解析】緝私艇與走私船原來的位置分別為A、C，在B處兩船相遇，由條件得到∠ACB=120°，AC=12海里，設緝私船t小時后追上該走私船，根據各自的速度表示出BC與AB，由∠ACB=120°，∠CAB=α，利用正弦定理列出關系式，求出sinα的值；由余弦定理列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義，掌握正弦定理:即可以解答此題．