Question

已知F₁，F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為P，則當△PF₁F₂的面積等于a²時，雙曲線的離心率為

2

．

Answer 1

分析：先設F₁F₂=2c，由題意知△F₁F₂P是直角三角形，進而在RT△PF₁F₂中結合雙曲線的定義和△PF₁F₂的面積，進而根據雙曲線的簡單性質求得a，c之間的關系，則雙曲線的離心率可得．

解答：解：設F₁F₂=2c，由題意知△F₁F₂P是直角三角形，
∴F₁P²+F₂P²=F₁F₂²，
又根據曲線的定義得：
F₁P-F₂P=2a，
平方得：F₁P²+F₂P²-2F₁P×F₂P=4a²，
 從而得出F₁F₂²-2F₁P×F₂P=4a²，
∴F₁P×F₂P=2（c²-a²），
又△PF₁F₂的面積等于a²，
即

1

2

F₁P×F₂P=a²，
c²-a²=a²，
e=

2

，
∴雙曲線的離心率

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了學生綜合分析問題和數形結合的思想的運用．屬基礎題．