Question

【題目】已知由n（n∈N*）個正整數構成的集合A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥3），記SA＝a1+a2+…+an，對于任意不大于SA的正整數m，均存在集合A的一個子集，使得該子集的所有元素之和等于m.

（1）求a1，a2的值；

（2）求證：“a1，a2，…，an成等差數列”的充要條件是“”；

（3）若SA＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值時an的最大值.

Answer 1

【答案】（1）a1＝1，a2＝2；（2）證明見解析；（3）n最小值為11，an的最大值1010

【解析】

（1）考慮元素1，2，結合新定義SA，可得所求值；

（2）從兩個方面證明，結合等差數列的性質和求和公式，即可得證；

（3）由于含有n個元素的非空子集個數有2n﹣1，討論當n＝10時，n＝11時，結合條件和新定義，推理可得所求.

（1）由條件知1≤SA，必有1∈A，又a1＜a2＜…＜an均為整數，a1＝1，

2≤SA，由SA的定義及a1＜a2＜…＜an均為整數，必有2∈A，a2＝2；

（2）證明：必要性：由“a1，a2，…，an成等差數列”及a1＝1，a2＝2，

得ai＝i（i＝1，2，…，n）此時A＝{1，2，3，…，n}滿足題目要求，

從而；

充分性：由條件知a1＜a2＜…＜an，且均為正整數，可得ai≥i（i＝1，2，3，…，n），

故，當且僅當ai＝i（i＝1，2，3，…，n）時，上式等號成立.

于是當時，ai＝i（i＝1，2，3，…，n），從而a1，a2，…，an成等差數列.

所以“a1，a2，…，an成等差數列”的充要條件是“”；

（Ⅲ）由于含有n個元素的非空子集個數有2n-1，故當n＝10時，210﹣1＝1023，

此時A的非空子集的元素之和最多表示1023個不同的整數m，不符合要求.

而用11個元素的集合A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元素之和

可以表示1，2，3，…，2046，2047共2047個正整數.

因此當SA＝2020時，n的最小值為11.

記S10＝a1+a2+…+a10，則S10+a11＝2020并且S10+1≥a11.

事實上若S10+1＜a11，2020＝S10+a11＜2a11，則a11＞1010，S10＜a11＜1010，

所以m＝1010時無法用集合A的非空子集的元素之和表示，與題意不符.

于是2020＝S10+a11≥2a11﹣1，得，，所以a11≤1010.

當a11＝1010時，A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010}滿足題意，

所以當SA＝2020時，n的最小值為11，此時an的最大值1010.