Question

【題目】如圖，已知直線與拋物線y2=2px（p＞0）交于A，B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點D（不為原點）．
（Ⅰ）求點D的軌跡方程；
（Ⅱ）若點D坐標為（2，1），求p的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點A的坐標（x1 ， y1），點B的坐標（x2 ， y2），點D的坐標為（x0 ， y0）（x0≠0）， 由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0．
由已知，得直線AB的方程為 ．
又有 ，
由x1x2+y1y2=0得 ．
把 代入y2=2px并消去x得 ，
得
代入
得
故所求點D的軌跡方程為x2+y2﹣2px=0（x≠0）．
（Ⅱ）把x=2，y=1代入方程x2+y2﹣2px=0中，得
【解析】（Ⅰ）設點A的坐標（x1 ， y1），點B的坐標（x2 ， y2），點D的坐標為（x0 ， y0）（x0≠0），由OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0，由此入手能求出點D的方程．（Ⅱ）點D（2，1）代入方程x2+y2﹣2px=0，能求出結果．