Question

【題目】如圖，經過B（1，2）作兩條互相垂直的直線l1和l2 ， l1交y軸正半軸于點A，l2交x軸正半軸于點C．

（1）若A（0，1），求點C的坐標；
（2）試問是否總存在經過O，A，B，C四點的圓？若存在，求出半徑最小的圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由直線l1經過兩點A（0，1），B（1，2），得l1的方程為x﹣y+1=0．

由直線l2⊥l1，且直線l2經過點B，得l2的方程為x+y﹣3=0．

所以，點C的坐標為（3，0）

（2）解：因為AB⊥BC，OA⊥OC，所以總存在經過O，A，B，C四點的圓，且該圓以AC為直徑．

①若l1⊥y軸，則l2∥y軸，此時四邊形OABC為矩形， ．

②若l1與y軸不垂直，則兩條直線斜率都存在．不妨設直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為 ．

所以直線l1的方程為y﹣2=k（x﹣1），從而A（0，2﹣k）；

直線l2的方程為 ，從而C（2k+1，0）．

令 解得 ，注意到k≠0，所以 ．

此時|AC|2=（2﹣k）2+（2k+1）2=5k2+5＞5， ，

所以半徑的最小值為 ．

此時圓的方程為

【解析】（1）先求l1的方程，進而可求l2的方程，即可得到點C的坐標；（2）因為AB⊥BC，OA⊥OC，所以總存在經過O，A，B，C四點的圓，且該圓以AC為直徑，分類討論，確定A、C的坐標，表示出AC，即可求得結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線的斜率(一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα)，還要掌握圓的標準方程(圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程)的相關知識才是答題的關鍵．