Question

（2013•閘北區二模）設M（x，y，z）為空間直角坐標系內一點，點M在xOy平面上的射影P的極坐標為（ρ，θ）（極坐標系以O為極點，以x軸為極軸），則我們稱三元數組（ρ，θ，z）為點M的柱面坐標．已知M點的柱面坐標為(6，

π

3

，-1)，則直線OM與xOz平面所成的角為

arcsin

3 101

37

．

Answer 1

分析：根據題意：“M點的柱面坐標為(6，

π

3

，-1)，”作出立體圖形，如圖所示．利用長方體模型進行計算即可．在長方體OM中，∠PON=

π

3

，ON=6，MN=1，直線OM與xOz平面所成的角為∠MOQ，利用長方體的性質得到對角線的長，再在直角三角形MOQ中，求出sin∠MOQ，從而得出則直線OM與xOz平面所成的角的大小．

解答：解：根據題意作出立體圖形，如圖所示．
在長方體OM中，∠PON=

π

3

，ON=6，MN=1，直線OM與xOz平面所成的角為∠MOQ，
在直角三角形OPN中，OP=ONcos

π

3

=3，PN=ONsin

π

3

=3

3

，
∴OM=

OP2+PN2+MN2

=

9+27+1

=

37

，
在直角三角形MOQ中，sin∠MOQ=

MQ

OM

=

3 3

37

=

3 101

37

．
∴則直線OM與xOz平面所成的角∠MOQ為arcsin

3 101

37

．
故答案為：arcsin

3 101

37

．

點評：本題考查直線與平面所成的角和線面角，本題解題的關鍵是構造長方體，屬于中檔題．