Question

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分，請在答題紙指定區域內作答，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，
AB與OP交于點M，設CD為過點M且不過圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應的一個特征向量e₁=[

1 1

]，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標系與參數方程）
在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為p=2

2

sin（θ-

π

4

），以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t為參數），求直線l被曲線C所截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實數x，y，z滿足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

Answer 1

分析：A．因為PA，PB為圓O的兩條切線，所以OP垂直平分弦AB，在Rt△OAP中，OM•MP=AM²，圓O中，AM•BM=CM•DM，由此能夠證明O，C，P，D四點共圓．
B．設M=

a b c d

，則

a b c d

1 1

=3

1 1

=

3 3

，

a b c d

-1 2

=

9 15

，由此能求出M．
C．將ρ=2

2

sin（θ-

π

4

），

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

分別化為普通方程：x²+y²+2x-2y=0，3x+4y+1=0，由此能求出弦長．
D．由柯西不等式知：（x+y+z）²≤[（

2

x）²+（

3

y）²+z²]•[（

1

2

）²+（

1

3

）²+1²]，故2x2+3y2+z2≥

24

11

，由此能求出2x²+3y²+z²的最小值．

解答：A．選修4-1：（幾何證明選講）
證明：因為PA，PB為圓O的兩條切線，
所以OP垂直平分弦AB，
在Rt△OAP中，OM•MP=AM²，…（4分）
在圓O中，AM•BM=CM•DM，
所以OM•MP=CM•DM，…（8分）
又弦CD不過圓心O，所以O，C，P，D四點共圓．…（10分）
B．選修4-2：（矩陣與變換）
設M=

a b c d

，則

a b c d

1 1

=3

1 1

=

3 3

，
故

a+b=3 c+d=3

．…（4分）

a b c d

-1 2

=

9 15

，故

-a+2b=9 -c+2d=15

．…（7分）
聯立以上兩方程組解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，
故M=

-1 4 -3 6

． …（10分）
C．選修4-4：（坐標系與參數方程）
解：將方程ρ=2

2

sin（θ-

π

4

），

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

分別化為普通方程：
x²+y²+2x-2y=0，3x+4y+1=0，…（6分）
由曲線C的圓心為C（-1，1），半徑為

2

，
所以圓心C到直線l的距離為

2

5

，
故所求弦長為2

2-( 2 5 )2

=

2 46

5

．…（10分）
D．選修4-5（不等式選講）
解：由柯西不等式可知：
（x+y+z）²≤[（

2

x）²+（

3

y）²+z²]•[（

1

2

）²+（

1

3

）²+1²]，…（5分）
故2x2+3y2+z2≥

24

11

，
當且僅當

2 x

1 2

=

3 y

1 3

=

z

1

，
即：x=

6

11

，y=

4

11

，z=

12

11

時，
2x²+3y²+z²取得最小值為

4

11

．…（10分）

點評：A考查與圓有關的比例線段的應用，B考查矩陣與變換的應用，C考查極坐標與參數方程的應用，D考查柯西不等式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的靈活運用．