Question

 選做題（在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，并將選作標記用2B鉛筆涂黑，每小題10分，共20分，請在答題指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．
A、（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，求證：AB²=AE•AD
B、（選修4-2：矩形與變換）
已知a，b實數，如果矩陣M=

1 a b 2

所對應的變換將直線3x-y=1變換成x+2y=1，求a，b的值．
C、（選修4-4，：坐標系與參數方程）
設M、N分別是曲線ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

上的動點，判斷兩曲線的位置關系并求M、N間的最小距離．
D、（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c是不完全相等的正數，求證：a+b+c＞

ab

+

bc

+

ca

．

Answer 1

分析：A 利用△ABE∽△ADB，得到

AB

AD

=

AE

AB

，即可得到 AB²=AE•AD．
B 設點（x，y）是直線3x-y=1上的任意一點，在矩陣M的作用下點變成（x^′，y^′），由條件可得

x+ay=x′ bx+2y=y′

，把
 （x^′，y^′） 代入x+2y=1化簡，應為3x-y=1，比較系數求出a，b的值．
C 把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程可得分別表示圓和一條直線，利用點到直線的距離公式可得直線和圓相離，
從而求得M、N間的最小距離．
D 由條件得到三個基本不等式，相加化簡可得結論．

解答：解：A、證明：由AB=AC得∠ABC=∠C，又∠C=∠D，∴∠ABC=∠D．
又∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB，∴

AB

AD

=

AE

AB

，即 AB²=AE•AD．
B、解：設點（x，y）是直線3x-y=1上的任意一點，在矩陣M的作用下點變成（x^′，y^′），
則

.

1 a b 2

.

.

x y

.

=

.

x′ y′

.

，∴

x+ay=x′ bx+2y=y′

．
因為（x^′，y^′）在x+2y=1上，∴x+ay+2（bx+2y）=1，即 （1+2b）x+（a+4）y=1，∴

1+2b=3 a+4=-1

，
解得a=-5，b=1．
C、解：曲線ρ+2sinθ=0 化為直角坐標方程為x²+y²+2y=0，即x²+（y-1）²=1，
表示以C（0，-1）為圓心，以1為半徑的圓．
把ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

化為直角坐標方程為 x+y-1=0，表示一條直線，圓心C到直線的距離

|-1-1|

2

=

2

＞1，故直線和圓相離，故M、N間的最小距離為

2

-1．
D、證明：∵a，b，c是不完全相等的正數，∴a+b≥2

ab

，c+b≥2

cb

，a+c≥2

ac

，
且這三個式子不能同時取等號．
這三個式子相加可得2（a+b+c）＞2（

ab

+

bc

+

ac

），即 a+b+c＞

ab

+

bc

+

ca

．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，簡單的矩陣運算和利用基本不等式證明不等式，屬于基礎題．