Question

選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．
A選修4-1：幾何證明選講
如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DE是圓的一條切線，E是切點，過點B作DE的垂線，垂足為點C．
求證：∠ACB=

1

3

∠OAC．
B選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

.

1 1 2 1

.

，向量

β

=

1 2

．求向量

a

，使得A²

a

=

β

．
C選修4-3：坐標系與參數方程
已知橢圓C的極坐標方程為ρ²=

a

3cos2θ+4sin2θ

，焦距為2，求實數a的值．
D選修4-4：不等式選講
已知函數f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+

(a+b+c)2

3

（a，b．c為實數）的最小值為m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

Answer 1

分析：A連接OE，AE，并過點A作AF⊥DE于點F，由DE是切線，知OE⊥DC，由BC⊥DE，知OE∥AF∥BC，由此能夠推導出∠ACB=

1

3

∠OAC．
B由A=

1 1 2 1

，知A²=

1 1 2 1

1 1 2 1

=

3 2 4 3

，設

a

=

x′ y′

，則A2

α

=

β

，由此能求出向量

a

，使得A²

a

=

β

．
C由橢圓C的極坐標方程得到

x2

a 3

+

y2

a 4

=1，由此能求出a．
D由f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+

(a+b+c)2

3

=3（x-

a+b+c

3

）²+a²+b²+c²．知x=

a+b+c

3

時，f（x）取最小值a²+b²+c²，即m=a²+b²+c²，由此利用柯西不等式能求出m的最小值．

解答：解：A證明：連接OE，AE，并過點A作AF⊥DE于點F，
∵DE是圓的一條切線，E是切點，∴OE⊥DC，
又∵BC⊥DE，∴OE∥AF∥BC，
∴∠CAF=∠ACB，∠FAE=∠AEO，
∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO，∴∠EAO=∠FAE，
又∵點A是OB的中點，∴點F是EC的中點，
∴AE=AC，
∴∠CAF=∠FAE，
∴∠EAO=∠FAE=∠CAF，
∴∠ACB=

1

3

∠OAC．
B∵A=

1 1 2 1

，∴A²=

1 1 2 1

1 1 2 1

=

3 2 4 3

，
設

a

=

x′ y′

，則A2

α

=

β

，
∴

3 2 4 3

x′ y′

=

1′ 2′

，∴

3x+2y=1 4x+3y=2

，
解得x=-1，y=2，∴

α

=

-1′ 2′

．
C∵橢圓C的極坐標方程為ρ²=

a

3cos2θ+4sin2θ

，焦距為2，
∴

x2

a 3

+

y2

a 4

=1，
由

a

3

-

a

4

=1，得a=12．
D∵f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+

(a+b+c)2

3

=3x²-2（a+b+c）x+a²+b²+c²+

(a+b+c)2

3

=3（x-

a+b+c

3

）²+a²+b²+c²．
∴x=

a+b+c

3

時，f（x）取最小值a²+b²+c²，即m=a²+b²+c²，
∵a-b+2c=3，由柯西不等式得
[1²+（-1）²+2²]•（a²+b²+c²）≥（a-b+2c）²=9，
∴m=a²+b²+c²≥

9

6

=

3

2

，
當且僅當

a

1

=

b

-1

=

c

2

，即a=

3

4

，b=-

3

4

，c=

3

2

時等號成立，
∴m的最小值為

3

2

．

點評：本題考查與圓有關的比例線段的應用，考查矩陣與變換的應用，考查橢圓的極坐標方程，考查柯西不等式的應用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．