Question

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題紙指定區域內 作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D、E．求∠DAC的度數與線段AE的長．
B．已知二階矩陣A=

2 a b 0

屬于特征值-1的一個特征向量為

1 -3

，求矩陣A的逆矩陣．

C．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直線l的參數方程為

x=- 3 t y=1+t

（t為參數，t∈{R}）．試求曲線C上點M到直線l的距離的最大值．
D．（1）設x是正數，求證：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個使它不成立的x的值．

Answer 1

分析：A．由題意，連接OC，可得△ACB是含有60°角的直角三角形，結合切線的性質和等邊對等角算出∠DAC的度數，進而根據BC=3算出線段AE的長．
B．根據特征向量的定義，用待定系數法可求出矩陣A的值，再用逆矩陣的公式即可求出矩陣A的逆矩陣．
C．分別將曲線C與直線l化成普通方程，然后將直線l平移到與曲線C相切，即可得到與l較遠的切線到l的距離即為所求．
D．（1）利用基本不等式，結合同向兩個不等式相乘，即可得到（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³成立；
（2）分兩種情況：x為正數和x為負數或零加以討論，并結合因式分解判斷積的符號，不難得到對任意x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³仍然成立．

解答：解：A．如圖，連接OC，可得BC=OB=OC=3，
因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，
所以∠DCA=60°，結合AD⊥DC得∠DAC=30°．
又因為∠ACB=90°，得∠CAB=30°，所以∠EAB=60°，
從而∠ABE=30°，于是AE=

1

2

AB=3．
B．根據題意，得

2 a b 0

•

1 -3

=

1 -3

，即

2-3a b

=

1 -3

，可得

2-3a=1 b=-3

，解之得a=

1

3

，b=-3
∴A=

2 1 3 -3 0

，再由逆矩陣公式可得A的逆矩陣為A^-1=

0 - 1 3 3 2

；
C．將曲線C的極坐標方程化成普通方程，得

x2

3

+y2=1，
直線l的普通方程為：x+

3

y-

3

=0，
設動直線m：x+

3

y+n=0，與曲線C相切，
聯解

x2 3 +y2=1 x+ 3 y+n=0

，由根的判別式，解得n=±

6

檢驗得當n=

6

時，直線m與曲線C的切點到直線l的距離最大，
這個最大距離為d=

| 6 + 3 |

1+3

=

3 + 6

2

∴曲線C上點M到直線l的距離的最大值是

3 + 6

2

．
D．（1）∵x是正數，∴1+x≥2

x

，1+x²≥2x，1+x³≥2

x3

由于以上3個不等式的兩邊都是正數，所以將它們相乘可得：
（1+x）（1+x²）（1+x³）≥2

x

•2x•2

x3

=8x³，
即不等式：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³對任意正數x恒成立；
（2）①當x＞0時，由（1）的結論可得（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³成立；
②當x≤0時，（1+x）（1+x²）（1+x³）=（1+x）²（1+x²）（1-x+x²）=（1+x）²（1+x²）[（x-

1

2

）²+

3

4

]
而（1+x）²＞0，1+x²＞0且（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

＞0，可得（1+x）（1+x²）（1+x³）＞0
因為8x³≤0，所以（1+x）（1+x²）（1+x³）＞8x³
綜上所述，對任意x∈R，都有不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³成立．

點評：本題通過幾道解答題，考查了參數方程與極坐標、矩陣變換、不等式的證明和平面幾何證明等理科附加知識的掌握，屬于綜合性較強的中檔題．