Question

某商場經營一批進價是30元/臺的小商品，在市場試驗中發現，此商品的銷售單價x(x取整數)元與日銷售量y臺之間有如下關系：

x	35	40	45	50
y	56	41	28	11

(1)畫出散點圖，并判斷y與x是否具有線性相關關系？
(2)求日銷售量y對銷售單價x的線性回歸方程；
(3)設經營此商品的日銷售利潤為P元，根據(1)寫出P關于x的函數關系式，并預測當銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤．

Answer 1

(1)見解析     (2)＝－3x＋161.5   (3) 銷售單價為42元時，能獲得最大日銷售利潤

解：(1)散點圖如圖所示，從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性相關．

(2)∵＝×(35＋40＋45＋50)＝42.5.
＝×(56＋41＋28＋11)＝34.
＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410.
＝35²＋40²＋45²＋50²＝7 350.
∴＝＝＝≈－3.
∴＝－＝34－(－3)×42.5＝161.5.
∴＝－3x＋161.5.
(3)依題意有
P＝(－3x＋161.5)(x－30)＝－3x²＋251.5x－4 845
＝－3(x－)²＋－4 845.
∴當x＝≈42時，P有最大值，約為426.
即預測銷售單價為42元時，能獲得最大日銷售利潤．
方法點評：該題屬于線性回歸問題，解答本類題目的關鍵首先應先通過散點圖(或相關性檢驗求相關系數r)來分析兩變量間的關系是否相關，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，在此基礎上，借助回歸方程對實際問題進行分析．