Question

【題目】已知函數.

（1）若恒成立，求實數的取值范圍；

（2）求證：時，.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）通過換元法，將不等式恒成立轉化為恒成立，其中.構造函數，利用導數研究的單調性，結合三種情況進行分類討論，由此求得實數的取值范圍.

（2）利用分析法，將所要證明的不等式轉化為證明，結合（1）的結論以及基本不等式，證得上述不等式成立.

（1）.

記，原不等式轉化為恒成立，其中.

令，則，

記，則.

①當時，注意到，故恒成立，從而.

于是，函數在上單調減，，符合題意；

②當時，考慮時，恒成立，即函數在上單調增，所以，時，，不符合題意，舍去.

③當時，，，不符合題意，舍去.

綜上，實數的取值范圍是.

（2）.

由（1）的過程知，即.

故要證，只需證（*）.

事實上，由（1）的結論知，當時，恒成立，即時，，而，即（*）成立，

等號當且僅當時取到，故原不等式獲證.