Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，其焦距為，點在橢圓上，，直線的斜率為（為半焦距）·

（1）求橢圓的方程；

（2）設圓的切線交橢圓于兩點（為坐標原點），求證：；

（3）在（2）的條件下，求的最大值

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由題意知 ,，解得 即可．

（2）（i）當切線與坐標軸垂直時，滿足，（ii）當切線與坐標軸不垂直時，設圓的切線為y＝kx+m，得，A（x1，y1），B（x2，y2），利用，即可證明．

（3 ）當切線與坐標軸垂直時|OA||OB|＝4，當切線與坐標軸不垂直時，由（2）知，且，即可得OA||OB|的最大值．

（1）連接，由題意知 ，

設

即 解得 ,

橢圓的方程為 .

（2）（i）當切線與坐標軸垂直時,交點坐標為，滿足.

(ii)當切線與坐標軸不垂直時，設切線為

由圓心到直線距離為

聯立橢圓方程得 恒成立，設

滿足 .

（3 ）當切線與坐標軸垂直時

當切線與坐標軸不垂直時,由（2）知

.

令

當且僅當時等號成立,

綜上所述，的最大值為